Petiôt tèorèmo de Fèrmat

Quél articllo est ècrit en arpetan forésien / ORB lârge.

En matèmatiques, lo petiôt tèorèmo de Fèrmat [pə.ˈtju te.ɔ.ˈreː.mo də far.ˈma] est un rèsultat de l’aritmètica modulèra, que sè pôt asse-ben dèmontrar avouéc los outils de l’aritmètica èlèmentèra.

Pierro de Fèrmat propôse en 1640 lo tèorèmo sen aduire de dèmonstracion.

S’ènonce d’ense : « se p est un nombro premiér et se a est un entiér pas divisiblo per p, adonc a^p–1 – 1 est un multiplo de p », ôtrament dét (desot les mémes condicions sus a et p), a^p–1 est congru a 1 modulo p :

$a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}$

Un ènonciê pariér est : « se p est un nombro premiér et se a est un entiér quin que seye, adonc a^p – a est un multiplo de p » :

$a^{p}\equiv a{\bmod {p}}$

Dêt son nom a Pierro de Fèrmat, que l’ènonce por lo premiér côp en 1640.

Il at tot plen d’aplicacions, a côp en aritmètica modulèra et en criptografia.

Leonhard Euler semond en 1736 la premiére dèmonstracion publeyêe du tèorèmo.

Dèmonstracions

Una dèmonstracion aritmètica èlèmentèra

Un’ôtra dèmonstracion du premiér ènonciê est pariére (per dessus simpla) a una prôva du lèmo de Gauss : la combina ique est d’èstimar modulo p, de doves façons, lo produit

$N=a\times 2a\times 3a\times \dots (p-1)a$

La prôva est prod rapida en fassent los carculs dens l’anél ℤ/pℤ, mas la pôvont adés dètalyér en empleyent solament la division euclidièna, lo lèmo d’Euclido, et una propriètât algèbrica de la congruence sus los entiérs.

Dèmonstracion

Suposens que a est pas divisiblo per p et notens

N lo produit a × 2a × 3a × … ×(p – 1)a

r_k lo résto de la division euclidièna de ka per p, por tot entiér k dês 1 tant qu’a p – 1. Adonc

• En tornent ordonar los factors, N = 1×2× … ×(p – 1)×a^p–1 = (p – 1)!a^p–1.
• D’ôtra pârt, N ≡ r₁×r₂× … ×r_p–1 mod p. En èfèt, se dedens un produit remplaçont un factor per un entiér que lui est congru modulo p adonc lo novél produit est congru modulo p u viely. En remplacient dedens N, a châ yon, châque ka per r_k, lo rèsultat est vêr congru a N modulo p.
• Et ben sûr r₁×r₂× … ×r_p–1 = (p – 1)! perce que (r₁, r₂, … , r_p–1) est una pèrmutacion de (1, 2, … , p – 1). En èfèt, 0 ≤ r_k ≤ p – 1 et

gins de r_k est pas zérô, (d’aprés lo lèmo d’Euclido) gins de ka est pas divisiblo per p ;

los r_k sont difèrents a châ doux, se r_i = r_j adonc (i – j)a est divisiblo per p, donc (uncor un côp per lo lèmo d’Euclido) i – j asse-ben, donc (coma –p < i – j < p) i = j.

• De quelos três pouents dèduisont : (p – 1)!a^p–1 ≡ (p – 1)! mod p, ôtrament dét (p – 1)!(a^p–1 – 1) est divisiblo per p. Per aplicacion rèpètâye du lèmo d’Euclido, gâgnont la concllusion : a^p–1 – 1 est divisiblo per p.

Notes et rèferences